一. 本周教学内容：
锐角三角函数
二. 重点：
准确熟练的掌握三角函数的概念，再理解特殊角三角函数的基础上熟记30°，45°，60°角的三角函数值。
三. 难点：
灵活运用三角函数的概念进行相关的计算和论证。
【知识回顾】
一. 锐角三角函数可借助于直角三角形来定义。若α为锐角，则角α的四个三角函数值定义为：
sinα= 
 cos
 tan
 cot
二. 三角函数值只是一个比值，由角 的大小唯一确定，与直角三角形的边长无关。
三. 锐角三角函数的主要性质如下：
1. sin ,cos ,tan ,cot 均为正值，
2. 当0< <90o时，正弦与正切函数为增函数；余弦与余切函数为减函数
3. 对于同一个角 ，存在一下的关系：
平方和关系：sin2 +con2 =1
比的关系：
倒数关系：tan ×cot =1
4. 若 互余，则有：
sin =cos ,cos =sin ,tan =cot ,cot =tan
四. 0－90°之间的特殊角的各三角函数值如下：
函数值 |
0 |
30° |
45° |
60° |
90° |
正弦 |
0 |
|
|
|
1 |
余弦 |
1 |
|
|
|
0 |
正切 |
0 |
|
1 |
|
不存在 |
余切 |
不存在 |
|
1 |
|
0 |
【典型例题】
例1. 若角α的终边经过点P(x, 2),x>0,且sinα= ,求α的其他三个三角函数值以及点P。 解析：抓住三角函数定义中三个量之间的关系，进行合理变换是解题的关键。
∵r= ,且sinα= = ,又sinα=
∴ =3∴x= (x>0)
∴cosα= = ,tanα= = = ,
cotα= =
例2. 已知Sin α= cosα（α为锐角）
证明：①
②cosα=
解析：应充分利用同角三角函数的关系式
① 左式通分得 ，又由sin a+cos a=1知，sin a=1- cos a
∴左式= =右式
∴命题得证
②在已知sin a=cosa中等量代换sin a，使成为一个关于cosa的方程
 sin a+cos a=1
∴sin a=1- cos a
∴cosα=1- cos a，即cos a +cosα-1=0；
解之得cosα= 但a为锐角
∴cosα>0
∴cosα=
例3.α为锐角，试比较sinα与cosα的大小。
解：∵当α=45o时，sinα=cosα
∴按锐角α：0o<α<45o，α=45o以及45o<α<90o来讨论。
⑴当0o<α<45o时，显然，α<90o-α
∴sinα< sin(90o-α)，即sinα<cosα
⑵当α=45o时，sinα=cosα
⑶当45o<α<90o时，显然α>90o-α
∴sinα> sin(90o-α) 即sinα>cosα
例4.已知tanα=2，求 的值
解：∵1=sin a+cos a
∴原式=
=
=
又tanα=2，∴ =2，∴cosα≠0
∴原式= =
∴将tanα=2代入，计算得，原式=3
例5. 求适合下列条件的角α(α为锐角)
①4sin a-3=0②tan2 =
解：①解方程得sin a= ∵α为锐角，sinα>0，
∴sinα= ∴α=60o
②∵α为锐角，∴ 一定为锐角，且tan >0
∴tan = =
又tan30o= ，∴ =30o，∴α=60o
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. P(1，2)为角α的终边上一点，将点P沿α角的终边方向移动3个单位时，sinα=_______
2. 设tanα= -2，则cotα=_____,若sinβ= ，则tanβ=-_____
3. 化简sin 40o+ sin 50o=_____，
(cos30o+cos45o)(sin60o-cos45o)=_____
4. 比较下列各式值的大小。
⑴tan80o与cot60o ⑵sin29o与cos45o
⑶tan55o与sin85o ⑷sina+cosa与sin β+cos β
5. 计算：⑴
⑵
6.⑴已知sin -cos =k,求sin cos 的值
（2）已知tan +cot =k,求tan  +cot  的值
7. 计算（1）sin
(2)tan .tan2 .tan3 ……tan89
【试题答案】
1.  2. 2＋ ， 3. 1，
4. (1)tan80o >cot60o
(2) sin29o<cos45o
(3) tan55o>sin85o
(4) sinα+ cosα>sin2β+ cos2β
5. (1) 0(2) a-b
6. (1)  提示：对sinα- cosα=k 两边同时平方，应用sin2α+ cos2α=1即可
（2）k2-2
7.(1)44 提示：应用sin2α+ cos2α=1
（2）1提示：应用tanα·cotα=1
【励志故事】
礼物
爱是不会老的，它留着的是永恒的火焰与不灭的光辉，世界的存在，就以它为养料。
——左拉
这个感人的故事，发生在一辆公车上，公车沿着南方偏僻公路蹒跚而行。
车子里的乘客，有位瘦弱的老人，手里握着一束鲜花，车过教堂时，上来一个少女，目不转睛地看着老人的鲜花。
到了老人快要下车时，他忽然冲动地将自己手中的鲜花推向少女的怀中。他赶忙解释说：“我看得出来你很喜欢这束花，我想我太太也会很高兴你拥有这束花的。我会告诉她我把花送给你了。”
那女孩接受那束花后，目送老人下车，看着他慢慢走到一座小公墓的门口。 |
