一. 本周教学内容：
　　动量守恒定律的应用
　　二. 知识要点：
　　（一）动量守恒定律的“三适用”“三表达”
　　动量守恒定律的内容：一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
　　因动量是状态量，只要系统满足动量守恒条件，整个过程系统的总动量都应是守恒、不变的。我们应用此定律只需考虑初、末两状态即可，即。因此，应用动量守恒定律解题，可将复杂的物理过程隐含在内，从而将问题简化，使动量守恒定律成为解决力学问题的有力工具。
　　“三适用”——以下三种情况可应用动量守恒定律解题。
　　1. 若系统不受外力或外力之和为零，则系统的总动量守恒
　　[例1] 如图1所示，一车厢长度为、质量为M，静止于光滑的水平面上，车厢内有—质量为m的物体以初速度向右运动，与车厢来回碰撞n次后静止于车厢中，这时车厢的速度为（　）
　　A. ，水平向右　　　　B. 零　　　　C. 　　　　D.

　　　　　　　　　　　　　　　
解析：当物体在车厢内运动及与车厢壁碰撞过程中，物体及车厢组成的系统所受外力有重力和支持力，合力为零，故系统总动量守恒。
系统的初动量为，当物体静止于车厢中时，二者具有相同的速度，设为，由动量守恒定律得，解得，C对。
2. 若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量守恒。
[例2] 一门旧式大炮，炮身的质量为M，射出炮弹的质量为m，对地的速度为，方向与水平方向成角，若不计炮身与水平地面的摩擦，则炮身后退速度的大小为（　）
A. 　　　　　B. 　　　C. t　　　　　D.
解析：大炮在射出炮弹的过程中，系统所受外力有重力和支持力，如图2所示，因炮弹在炮筒内做加速运动，加速度的方向与水平方向成角斜向上，竖直分加速度（向上），这也是系统在竖直方向上的加速度，因此，系统的外力之和不为零，总动量不守恒。但系统在水平方向不受外力，因此水平方向动量守恒。
设炮身后退的速度大小为，规定炮身运动的反方向为正方向，在水平方向应用动量守恒定律得，解得。

　　　　　　　　　　　　　　　
3. 若系统所受外力之和不为零，但外力远小于内力，可以忽略不计，则物体相互作用过程动量近似守恒。如碰撞、爆炸等问题。
[例3] 质量为M的木块放在水平地面上，处于静止状态，木块与地面间动摩擦因数为，一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木块沿水平地面滑行了距离后停止，试求子弹射入木块前速度。
解析：子弹射入木块过程中，木块受地面的摩擦力为，此力即为子弹与木块组成的系统的合外力，不为零。但子弹与木块间的相互作用力>>，摩擦力可忽略不计，系统的动量近似守恒。
设子弹射入木块后，子弹与木块的共同速度为，由动量守恒定律得①此后子弹与木块一起做匀减速直线运动②
由运动学公式得：③
由①②③解得
此题②③式亦可用动能定理求解。
“三表达”——动量守恒定律有三种常用的数学表达式
（1）系统的初动量等于末动量，即
（2）若A、B两物体组成的系统在相互作用过程中动量守恒，则（“—”表示与方向相反）
[例4] 质量相等的三个小球a、b、c在光滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个球A、B、C相碰（a与A碰，b与B碰，c与C碰）。碰后，a球继续沿原来的方向运动，b球静止不动，c球被弹回而向反方向运动。这时，A、B、C三球中动量最大的是（　）
A. A球　　　　B. B球　　　　C. C球　　　　D. 由于A、B、C三球的质量未知，无法判定
解析：由题意可知，三球在碰撞过程中动量均守恒，a、b、c三球在碰撞过程中，动量变化的大小关系为：>>。
由动量守恒定律知，，。所以A、B、C三球在碰撞过程中动量变化的大小关系为：>>
又A、B、C的初动量均为零，所以碰后A、B、C的动量大小关系为>>，选项C正确。
3. 若A、B两物体相互作用过程中动量守恒，则（、分别为此过程中A、B位移的大小）
[例5] 一平板小车静止在光滑水平面上，车的右端安有一竖直的板壁，车的左端站有一持枪的人，此人水平持枪向板壁连续射击，子弹全部嵌在板壁内未穿出，过一段时间后停止射击。则（　）
A. 停止射击后小车的速度为零
B. 射击过程中小车未移动
C. 停止射击后，小车在射击之前位置的左方
D. 停止射击后，小车在射击之前位置的右方
解析：在发射子弹的过程中，小车、人、枪及子弹组成的系统动量守恒，因此，停止射击后小车的速度为零，选项A正确。
又射击过程子弹向右移动了一段位移，则车、人、枪必向左移动一段位移，设子弹的质量为m，车、人、枪的质量为M，由动量守恒定律得，选项C正确，此题答案A、C。
（二）平均动量守恒
若系统在全过程中动量守恒（包括某一方向上动量守恒），则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒。如果物体系是由两个物体组成的，且相互作用前两物体均静止，相互作用后均发生运动，则使用时应明确：必须是相对同一参照物位移的大小，当符合动量守恒定律的条件，而又仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解。
[例6] 载人气球原来静止于高的高空，气球的质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长?
解析：气球和人原来静止在空中，说明系统所受合外力为零，故系统在人下滑过程中动量守恒，人着地时绳梯至少应接触地面，设绳梯长为，人沿绳梯滑至地面的位移是，气球的位移是，由平均动量守恒，则有：，所以有：，所以绳梯至少为长。
（三）把握临界条件巧用动量守恒定律
动量守恒定律是力学中的一个重要规律。在运用动量守恒定律解题时，常会遇到相互作用的几个物体间的临界问题，求解这类问题要注意分析和把握相关的临界条件，现把与应用动量守恒定律解题相关的临界问题作初步的分析和讨论。
1. 涉及弹簧的临界问题：
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。
[例7] 如图3所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为的A、B两物体以的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为的物体C静止在前方。A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧能达到的最大弹性势能为多少？

　　　　　　　　　
分析：A、B以的速度向右运动，并与C发生碰撞。由于碰撞时间很短，可认为碰撞仅发生在A与C之间，碰后A与C具有共同速度，由动量守恒定律有：，得
A和C碰后合并为一个物体，由于物体B的速度大于A和C的速度，弹簧将被压缩。接着，物体B做减速运动，A和C做加速运动。当三个物体速度相同时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到最大。由动量守恒定律有：
得：

弹簧具有的最大弹性势能为：

　　

2. 涉及斜面的临界问题
在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
[例8] 如图4所示，质量为的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一质量为的小球以速度向滑块滚来，设小球不能越过滑块，求小球滑到最高点时的速度大小和此时滑块速度大小。

　　　　　　　　
分析：由临界条件知，小球到达最高点时，小球和滑块在水平方向应具有相同的速度。由动量守恒定律得：
，即
3. 涉及摆的临界问题
装在车内的摆（由一段绳子和小球组成）随车运动时，小球上升到最高点的临界条件是小球和小车的速度相等。
[例9] 如图5所示，甲、乙两完全一样的小车，质量均为，乙车内用细绳吊一质量为的小球，当乙车静止时，甲车以速度与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，甲车和小球的速度各为多大？

分析：甲车与乙车发生碰撞，由于碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发生的位移可略去不计，这样，小球并未参与碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量守恒定律得：①接着，甲、乙两车合为一体并通过绳子与小球发生作用，车将向右做减速运动，小球将向右做加速运动并上摆。当小球和车的速度相同时，小球到达最高点。对两车和小球应用动量守恒定律得：②
解以上①②两式得：
4. 涉及追碰的临界问题
两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度，即>。而甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是=。
[例10] 甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为，乙和他的冰车的总质量也是，甲推着一个质量为的箱子，和他一起以大小为的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相碰，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于冰面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
分析：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能：①继续向前，方向不变；②停止运动；③反向运动。以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获得的速度最小，若这种推法能实现目标，则箱子获得的速度最小，设箱子的速度为，取甲运动方向为正方向，则对甲和箱子在推出过程运用动量守恒定律：
①
箱子推出后，被乙抓住，为避免甲、乙相撞，则乙必须后退，对乙和箱子运用动量守恒定律得：②
要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度最小的临界条件为：=③
解以上三式得：
5. 涉及子弹打木块的临界问题：
子弹打木块是一种常见的习题模型。子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同。
[例11] 如图6所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。—颗质量为的子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？

　　　　　　　　　　
分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量守恒定律得：①
要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：②
根据功能关系得：③
解以上三式得：
【典型例题分析】

[例1] 如图所示，质量为M的足够长的木板A以速度v沿斜面匀速下滑，在其下滑过程中将一质量也为M的木块B轻轻放在A的上表面上，A、B之间无摩擦，求：

（1）当B的速度为时A的速度；

（2）当B的速度为时A的速度。

解析：木板A能在斜面上匀速下滑，说明斜面与A之间摩擦因数为。

（1）当B放到A上后A与斜面之间的摩擦力增大了，A将做减速运动，但对于A、B组成的系统仍有。

系统的合外力为零，动量守恒，有

得，当B的速度为时，A的速度为。

（2）对于A、B组成的系统，根据动量守恒定律，当B的速度为v时A的速度为零，但当A的速度等于零之后，系统与斜面之间的摩擦力将由滑动摩擦力变为静摩擦力系统的合外力不再为零，此后B在A上加速运动A的速度始终为零，所以当B的速度为2v时，A的速度为零。

此题也可用牛顿第二定律求解，请同学们自己试试。

[例2] 如图所示，在光滑的水平面上有一质量为的小车通过一根不可伸长的轻绳与质量为的拖车相连接，质量为的物体放在拖车的水平车板上与车板之间的动摩擦因数为，开始时物体和拖车都静止，绳子松弛，某时刻小车以速度向右运动，求：

（1）三者以同一速度前进时的车速v的大小。

（2）若物体不能从拖车上滑落，到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离。

　　

解析：所组成的系统合外力为零，所以动量守恒，有

，∴。

由于轻绳不可伸长，当绳子被拉直的瞬间与便有了相同的速度（此时由于惯性还处于静止状态），在绳子被拉直的瞬间发生了一个明显的动量改变量，说明与之间的作用力很大，远大于与之间的摩擦力，因此与组成的系统在绳子被拉直的这极短的时间内动量守恒。

，解得与在绳子拉直的瞬间获得的共同速度。

此后与组成的整体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动，其加速度为

速度由减到v过程中发生的位移为。

在摩擦力的作用下做匀加速直线运动其加速度为，速度由0增至v过程中发生的位移为。

所以到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离为。

此题在计算时也可选拖车为参照物，则物体相对拖车做初速度为，加速度为，末速度为0的匀减速直线运动，其位移为。
此题还可以用能量的观点求解到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离，同学们可以在复习过能量的观点后再用相应的方法求解此题。

【模拟试题】
1. 在质量为的小车中挂有一单摆，摆球的质量为小车和单摆以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列哪个或哪些情况是可能发生的（　）
A. 小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为，满足

B. 摆球的速度不变，小车和木块的速度变为和，满足
C. 摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为，满足
D. 小车和摆球的速度都变为，木块的速度变为，满足
2. 半径相等的两个小球甲和乙，在光滑水平面上沿同一直线相向运动，若甲球的质量大于乙球的质量，碰撞前两球的动能相等，碰撞后两球的运动状态可能是（　）
A. 甲球的速度为零而乙球的速度不为零
B. 乙球的速度为零而甲球的速度不为零
C. 两球的速度均不为零
D. 两球的速度方向均与原方向相反，两球的动能仍相等
3. 在光滑水平面上，动能为，动量的大小为的小钢球a与静止小钢球b发生碰撞，碰撞前后球a的运动方向相反，将碰撞后球a的动能和动量的大小分别记为、球b的动能和动量的大小分别记为、，则必有（　）
A. 　　　　B. 　　　　　C. 　　　　D.
4. 在光滑水平冰面上，甲、乙两人各乘一小车，两人质量相等，甲手中另持一小球，开始时甲、乙均静止，某一时刻，甲向正东方向将球沿着冰面推给乙，乙接住球后又向正西方向将球回推给甲，如此推接数次后，甲又将球推出，球在冰面上向东运动，但已经无法追上乙，此时甲的速率、乙的速率及球的速率V，三者之间的关系为（　）
A. 　　　 　B.
C. 　　　 　 D.
5. 放在光滑水平面上的M、N两物体，系于同一根绳的两端，开始时绳是松驰的，M、N反方向运动将绳拉断，那么在绳拉断后，M、N可能的运动情况是（　）
A. M、N同时都停下来，
B. M、N仍按各自原来的运动方向运动
C. 其中一个停下来，另一个反方向运动
D. 其中一个停下来，另一个按原来方向运动
6. 某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为，枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为，枪口到靶的距离为L，子弹水平射出枪口相对于地的速度为，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为（　）
A. 0　　　　B. 　　　　C. 　　　　　D.
7. 质量分别为和的两个粒子发生碰撞，碰撞前后两粒子都在同一直线上，在碰撞过程中损失的动能为定值，今要求碰撞前两粒子的总动能为最小，则碰撞前两粒子的速度大小和方向如何？
8. 如图所示，水平面放一质量为0.5kg的长条形金属盒，盒宽，它与水平面间的动摩擦因数是0.2，在盒的A端有一个与盒质量相等的小球。球与盒无摩擦，现在盒的A端迅速打击一下金属盒，给盒以的向右的冲量，设球与盒间的碰撞没有能量损失，且碰撞时间极短，求球与盒组成的系统从开始运动到完全停止所用时间。（　）

　　　　　　　　
9. 一玩具车携带若干质量为的弹丸，车和弹丸的总质量为，在半径为R的水平光滑轨道上以速率做匀速圆周运动，若小车每转一周便沿运动方向相对地面以恒定速度u发射一枚弹丸，求：
（1）至少发射多少颗弹丸后小车开始反向运动？
（2）写出小车反向运动前发射相邻两枚弹丸的时间间隔的表达式。

　　　　　　　　
10. 如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号为1、2、3……n号的木块，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同，开始时，木板静止不动，第1、2、3……n号木块分别以初速度……同时运动，方向向右，木板的质量与所有木块的总质量相等最终所有木块与木板以共同的速度匀速运动，试求：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度；
（2）第1号木块与木板刚好相对静止时的速度；
（3）第2号木板在整个过程中的最小速度。

　　　　　　　　　　　　　
【试题答案】
1. BC　　　　　2. AC　　　　3. ABD　　　　　4. D　　　　　5. ABD　　　　　6. C
7. ，
8. 1s
9. ；且
10.（1）；；（2）；（3）

【励志故事】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　黑暗启示录
一个书生在翻越一座山时，遭遇了一个拦路抢劫的山匪。书生立即逃跑，但山匪穷追不舍，走投无路时，书生钻进了一个山洞里，山匪也追进山洞里。在洞的深处，书生未能逃过山匪的追逐，黑暗中，他被山匪逮住了，遭到一顿毒打，身上的所有钱财，包括一把准备为夜间照明用的火把，都被山匪掳去了，幸好山匪并没有要他的命。之后，两个人各自寻找着洞的出口，这山洞极深极黑，且洞中有洞，纵横交错。
山匪将抢来的火把点燃，他能看清脚下的石块，能看清周围的石壁，因而他不会碰壁，不会被石块绊倒，但是，他走来走去，就是走不出这个洞，最终，他力竭而死。
书生失去了火把，没有了照明，他在黑暗中摸索行走得十分艰辛，他不时碰壁，不时被石块绊倒，跌得鼻青脸肿，但是，正因为他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能够敏锐地感受到洞里透进来的微光，他迎着这缕微光摸索爬行，最终逃离了山洞。
世间大多如此，许多身处黑暗的人，磕磕绊绊，最终走向了成功；而另一些人往往被眼前的光明迷失了前进的方向。